|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$e^{x y z}$$$ ως προς $$$z$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$e^{x y z}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(z \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ και $$$g{\left(z \right)} = x y z$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dz} \left(f{\left(g{\left(z \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(g{\left(z \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)}$$Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = e^{{\color{red}\left(x y z\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dz} \left(c f{\left(z \right)}\right) = c \frac{d}{dz} \left(f{\left(z \right)}\right)$$$ με $$$c = x y$$$ και $$$f{\left(z \right)} = z$$$:
$$e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)} = e^{x y z} {\color{red}\left(x y \frac{d}{dz} \left(z\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dz} \left(z^{n}\right) = n z^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dz} \left(z\right) = 1$$$:
$$x y e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(z\right)\right)} = x y e^{x y z} {\color{red}\left(1\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$A