|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$e^{\frac{u}{2}}$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{du} \left(e^{\frac{u}{2}}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$e^{\frac{u}{2}}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(u \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ και $$$g{\left(u \right)} = \frac{u}{2}$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{du} \left(f{\left(g{\left(u \right)} \right)}\right) = \frac{d}{dv} \left(f{\left(v \right)}\right) \frac{d}{du} \left(g{\left(u \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{\frac{u}{2}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(e^{v}\right) \frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right)\right)}$$Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\frac{d}{dv} \left(e^{v}\right) = e^{v}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(e^{v}\right)\right)} \frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right) = {\color{red}\left(e^{v}\right)} \frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$e^{{\color{red}\left(v\right)}} \frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right) = e^{{\color{red}\left(\frac{u}{2}\right)}} \frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{du} \left(c f{\left(u \right)}\right) = c \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right)$$$ με $$$c = \frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = u$$$:
$$e^{\frac{u}{2}} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right)\right)} = e^{\frac{u}{2}} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{du} \left(u\right)}{2}\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{du} \left(u\right) = 1$$$:
$$\frac{e^{\frac{u}{2}} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u\right)\right)}}{2} = \frac{e^{\frac{u}{2}} {\color{red}\left(1\right)}}{2}$$Άρα, $$$\frac{d}{du} \left(e^{\frac{u}{2}}\right) = \frac{e^{\frac{u}{2}}}{2}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{du} \left(e^{\frac{u}{2}}\right) = \frac{e^{\frac{u}{2}}}{2}$$$A