|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$e^{\frac{2 y}{x}}$$$ ως προς $$$x$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{2 y}{x}}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$e^{\frac{2 y}{x}}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = \frac{2 y}{x}$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{2 y}{x}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{2 y}{x}\right)\right)}$$Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{2 y}{x}\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{2 y}{x}\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(\frac{2 y}{x}\right) = e^{{\color{red}\left(\frac{2 y}{x}\right)}} \frac{d}{dx} \left(\frac{2 y}{x}\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = 2 y$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$:
$$e^{\frac{2 y}{x}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{2 y}{x}\right)\right)} = e^{\frac{2 y}{x}} {\color{red}\left(2 y \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = -1$$$:
$$2 y e^{\frac{2 y}{x}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = 2 y e^{\frac{2 y}{x}} {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{2 y}{x}}\right) = - \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x^{2}}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{2 y}{x}}\right) = - \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x^{2}}$$$A