|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$e^{- \frac{1}{u^{2}}}$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{du} \left(e^{- \frac{1}{u^{2}}}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$e^{- \frac{1}{u^{2}}}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(u \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ και $$$g{\left(u \right)} = - \frac{1}{u^{2}}$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{du} \left(f{\left(g{\left(u \right)} \right)}\right) = \frac{d}{dv} \left(f{\left(v \right)}\right) \frac{d}{du} \left(g{\left(u \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{- \frac{1}{u^{2}}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(e^{v}\right) \frac{d}{du} \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\right)}$$Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\frac{d}{dv} \left(e^{v}\right) = e^{v}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(e^{v}\right)\right)} \frac{d}{du} \left(- \frac{1}{u^{2}}\right) = {\color{red}\left(e^{v}\right)} \frac{d}{du} \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$e^{{\color{red}\left(v\right)}} \frac{d}{du} \left(- \frac{1}{u^{2}}\right) = e^{{\color{red}\left(- \frac{1}{u^{2}}\right)}} \frac{d}{du} \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{du} \left(c f{\left(u \right)}\right) = c \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right)$$$ με $$$c = -1$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$:
$$e^{- \frac{1}{u^{2}}} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\right)} = e^{- \frac{1}{u^{2}}} {\color{red}\left(- \frac{d}{du} \left(\frac{1}{u^{2}}\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ με $$$n = -2$$$:
$$- e^{- \frac{1}{u^{2}}} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{1}{u^{2}}\right)\right)} = - e^{- \frac{1}{u^{2}}} {\color{red}\left(- \frac{2}{u^{3}}\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{du} \left(e^{- \frac{1}{u^{2}}}\right) = \frac{2 e^{- \frac{1}{u^{2}}}}{u^{3}}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{du} \left(e^{- \frac{1}{u^{2}}}\right) = \frac{2 e^{- \frac{1}{u^{2}}}}{u^{3}}$$$A