|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$\cos{\left(x y \right)}$$$ ως προς $$$y$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dy} \left(\cos{\left(x y \right)}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$\cos{\left(x y \right)}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(y \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ και $$$g{\left(y \right)} = x y$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dy} \left(f{\left(g{\left(y \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(g{\left(y \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(\cos{\left(x y \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(x y\right)\right)}$$Η παράγωγος του συνημιτόνου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right) = {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$- \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right) = - \sin{\left({\color{red}\left(x y\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dy} \left(c f{\left(y \right)}\right) = c \frac{d}{dy} \left(f{\left(y \right)}\right)$$$ με $$$c = x$$$ και $$$f{\left(y \right)} = y$$$:
$$- \sin{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(x y\right)\right)} = - \sin{\left(x y \right)} {\color{red}\left(x \frac{d}{dy} \left(y\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dy} \left(y^{n}\right) = n y^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dy} \left(y\right) = 1$$$:
$$- x \sin{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(y\right)\right)} = - x \sin{\left(x y \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dy} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dy} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)}$$$A