Παράγωγος της $$$\cos{\left(n x \right)}$$$ ως προς $$$x$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(n x \right)}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$\cos{\left(n x \right)}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = n x$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(n x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(n x\right)\right)}$$Η παράγωγος του συνημιτόνου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(n x\right) = {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(n x\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$- \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(n x\right) = - \sin{\left({\color{red}\left(n x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(n x\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = n$$$ και $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$- \sin{\left(n x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(n x\right)\right)} = - \sin{\left(n x \right)} {\color{red}\left(n \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{m}\right) = m x^{m - 1}$$$ με $$$m = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- n \sin{\left(n x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = - n \sin{\left(n x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(n x \right)}\right) = - n \sin{\left(n x \right)}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(n x \right)}\right) = - n \sin{\left(n x \right)}$$$A