Παράγωγος της $$$\operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}$$$

Η συνάρτηση $$$\operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = 1 - x^{4}$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\operatorname{acos}{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(1 - x^{4}\right)\right)}$$

Η παράγωγος του αντίστροφου συνημιτόνου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\operatorname{acos}{\left(u \right)}\right) = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\operatorname{acos}{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{4}\right) = {\color{red}\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{4}\right)$$

Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:

$$- \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{4}\right)}{\sqrt{1 - {\color{red}\left(u\right)}^{2}}} = - \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{4}\right)}{\sqrt{1 - {\color{red}\left(1 - x^{4}\right)}^{2}}}$$

Η παράγωγος του αθροίσματος/της διαφοράς είναι το άθροισμα/η διαφορά των παραγώγων:

$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x^{4}\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left(1 - x^{4}\right)^{2}}} = - \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x^{4}\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left(1 - x^{4}\right)^{2}}}$$

Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι $$$0$$$:

$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(x^{4}\right)}{\sqrt{1 - \left(1 - x^{4}\right)^{2}}} = - \frac{{\color{red}\left(0\right)} - \frac{d}{dx} \left(x^{4}\right)}{\sqrt{1 - \left(1 - x^{4}\right)^{2}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = 4$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{4}\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left(1 - x^{4}\right)^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(4 x^{3}\right)}}{\sqrt{1 - \left(1 - x^{4}\right)^{2}}}$$

Απλοποιήστε:

$$\frac{4 x^{3}}{\sqrt{1 - \left(1 - x^{4}\right)^{2}}} = \frac{4 x}{\sqrt{2 - x^{4}}}$$

Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}\right) = \frac{4 x}{\sqrt{2 - x^{4}}}$$$.