Παράγωγος της $$$a^{\sqrt{x}}$$$ ως προς $$$x$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$a^{\sqrt{x}}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = a^{u}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(a^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα των εκθετών $$$\frac{d}{du} \left(n^{u}\right) = n^{u} \ln\left(n\right)$$$ με $$$n = a$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(a^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = {\color{red}\left(a^{u} \ln\left(a\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$a^{{\color{red}\left(u\right)}} \ln\left(a\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = a^{{\color{red}\left(\sqrt{x}\right)}} \ln\left(a\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = \frac{1}{2}$$$:
$$a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)} = a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right) {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right) = \frac{a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{x}}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right) = \frac{a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{x}}$$$A