Ιδιότητες της υπερβολής $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$

Βρείτε το κέντρο, τις εστίες, τις κορυφές, τις συνοκορυφές, το μήκος του μεγάλου άξονα, το μήκος του μεγάλου ημιάξονα, το μήκος του μικρού άξονα, το μήκος του μικρού ημιάξονα, τις παραμετρικές χορδές, το μήκος των παραμετρικών χορδών (εστιακό πλάτος), την εστιακή παράμετρο, την εκκεντρότητα, τη γραμμική εκκεντρότητα (εστιακή απόσταση), τις διευθετούσες, τις ασύμπτωτες, τις τομές με τον άξονα x, τις τομές με τον άξονα y, το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της υπερβολής $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$.

Η εξίσωση μιας υπερβολής είναι $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$, όπου το $$$\left(h, k\right)$$$ είναι το κέντρο και τα $$$a$$$ και $$$b$$$ είναι τα μήκη του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα.

Η υπερβολή μας σε αυτή τη μορφή είναι $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$.

Άρα, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$.

Η τυπική μορφή είναι $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$.

Η μορφή κορυφής είναι $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$.

Η γενική μορφή είναι $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$.

Η γραμμική εκκεντρότητα (εστιακή απόσταση) είναι $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{13}$$$.

Η εκκεντρότητα είναι $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{13}}{2}$$$.

Η πρώτη εστία είναι $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, - \sqrt{13}\right)$$$.

Η δεύτερη εστία είναι $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, \sqrt{13}\right)$$$.

Η πρώτη κορυφή είναι $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$.

Η δεύτερη κορυφή είναι $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$.

Η πρώτη συζυγής κορυφή είναι $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

Η δεύτερη συνκορυφή είναι $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

Το μήκος του μείζονος άξονα είναι $$$2 b = 4$$$.

Το μήκος του ελάσσονος άξονα είναι $$$2 a = 6$$$.

Η εστιακή παράμετρος είναι η απόσταση μεταξύ της εστίας και της διευθετούσας: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{13}}{13}$$$.

Τα latera recta είναι οι ευθείες παράλληλες προς τον ελάσσονα άξονα που διέρχονται από τις εστίες.

Η πρώτη εστιακή κάθετη χορδή είναι $$$y = - \sqrt{13}$$$.

Η δεύτερη ορθή χορδή είναι $$$y = \sqrt{13}$$$.

Τα άκρα της πρώτης ορθότομης μπορούν να βρεθούν επιλύοντας το σύστημα $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = - \sqrt{13} \end{cases}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής συστήματος εξισώσεων).

Τα άκρα της πρώτης ορθής εστιακής χορδής είναι $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$.

Τα άκρα της δεύτερης ορθής χορδής μπορούν να βρεθούν επιλύοντας το σύστημα $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = \sqrt{13} \end{cases}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής συστημάτων εξισώσεων).

Τα άκρα του δεύτερου ορθού πλάτους είναι $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$.

Το μήκος των ορθοτμών (εστιακό πλάτος) είναι $$$\frac{2 a^{2}}{b} = 9$$$.

Η πρώτη διευθετούσα είναι $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

Η δεύτερη διευθετούσα είναι $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

Η πρώτη ασύμπτωτη είναι $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{2 x}{3}$$$.

Η δεύτερη ασύμπτωτη είναι $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{2 x}{3}$$$.

Οι τομές με τον άξονα x μπορούν να βρεθούν θέτοντας $$$y = 0$$$ στην εξίσωση και λύνοντας ως προς $$$x$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής τομών με τους άξονες).

Εφόσον δεν υπάρχουν πραγματικές λύσεις, δεν υπάρχουν σημεία τομής με τον άξονα x.

Οι τομές με τον άξονα y μπορούν να βρεθούν θέτοντας $$$x = 0$$$ στην εξίσωση και λύνοντας ως προς $$$y$$$: (για τα βήματα, δείτε intercepts calculator).

τομές με τον άξονα y: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

Κανονική μορφή/εξίσωση: $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

Μορφή/εξίσωση κορυφής: $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.

Γενική μορφή/εξίσωση: $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$A.

Πρώτη μορφή/εξίσωση εστίας-διευθετούσας: $$$x^{2} + \left(y + \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y + \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Δεύτερη μορφή/εξίσωση εστίας-διευθετούσας: $$$x^{2} + \left(y - \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Γράφημα: δείτε το graphing calculator.

Κέντρο: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Πρώτη εστία: $$$\left(0, - \sqrt{13}\right)\approx \left(0, -3.605551275463989\right)$$$A.

Δεύτερη εστία: $$$\left(0, \sqrt{13}\right)\approx \left(0, 3.605551275463989\right)$$$A.

Πρώτη κορυφή: $$$\left(0, -2\right)$$$A.

Δεύτερη κορυφή: $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Πρώτη συν-κορυφή: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Δεύτερη συζυγής κορυφή: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Μήκος του μεγάλου (εγκάρσιου) άξονα: $$$4$$$A.

Μήκος του μεγάλου ημιάξονα: $$$2$$$A.

Μήκος του μικρού (συζυγούς) άξονα: $$$6$$$A.

Μήκος ημιελάσσονος άξονα: $$$3$$$A.

Πρώτο ορθόπλευρο: $$$y = - \sqrt{13}\approx -3.605551275463989$$$A.

Δεύτερη παραμετρική χορδή: $$$y = \sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Άκρα της πρώτης παραμετρικής χορδής: $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, -3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, -3.605551275463989\right)$$$A.

Άκρα της δεύτερης ορθής διαμέτρου: $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, 3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, 3.605551275463989\right)$$$A.

Μήκος των latera recta (εστιακό πλάτος): $$$9$$$A.

Εστιακή παράμετρος: $$$\frac{9 \sqrt{13}}{13}\approx 2.496150883013531$$$A.

Εκκεντρότητα: $$$\frac{\sqrt{13}}{2}\approx 1.802775637731995$$$A.

Γραμμική εκκεντρότητα (εστιακή απόσταση): $$$\sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Πρώτη διευθετούσα: $$$y = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx -1.109400392450458$$$A.

Δεύτερη διευθετούσα: $$$y = \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx 1.109400392450458$$$A.

Πρώτη ασύμπτωτη: $$$y = - \frac{2 x}{3}\approx - 0.666666666666667 x$$$A.

Δεύτερη ασύμπτωτη: $$$y = \frac{2 x}{3}\approx 0.666666666666667 x$$$A.

τομές με τον άξονα x: δεν υπάρχουν σημεία τομής με τον άξονα x.

τομές με τον άξονα y: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Πεδίο ορισμού: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Σύνολο τιμών: $$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$$A.