Rechner für den Nullraum (Kern) und den Defekt einer Matrix
Bestimme Nullräume Schritt für Schritt
Der Rechner ermittelt den Nullraum (Kern) und die Nullität der gegebenen Matrix und zeigt die Schritte an.
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie den Nullraum von $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1\\2 & -2 & 1\end{array}\right]$$$.
Lösung
Die reduzierte Zeilenstufenform der Matrix ist $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe rref calculator).
Um den Nullraum zu bestimmen, lösen Sie die Matrixgleichung $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$$$
Wenn wir $$$x_{2} = t$$$ wählen, dann $$$x_{1} = t$$$, $$$x_{3} = 0$$$.
Somit gilt $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t\\t\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right] t.$$$
Dies ist der Nullraum.
Die Nullität einer Matrix ist die Dimension einer Basis des Nullraums.
Somit beträgt die Nullität der Matrix $$$1$$$.
Antwort
Die Basis des Nullraums ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]\right\}$$$A.
Die Nullität der Matrix ist $$$1$$$A.