LU-Zerlegungsrechner
Finde die LU-Zerlegung einer Matrix Schritt für Schritt
Der Rechner ermittelt (falls möglich) die LU-Zerlegung der gegebenen Matrix $$$A$$$, d. h. eine untere Dreiecksmatrix $$$L$$$ und eine obere Dreiecksmatrix $$$U$$$ so, dass $$$A=LU$$$, wobei die Schritte angezeigt werden.
Im Fall des partiellen Pivotierens (eine Zeilenpermutation ist erforderlich) ermittelt der Rechner außerdem die Permutationsmatrix $$$P$$$, so dass $$$PA=LU$$$.
Verwandter Rechner: QR-Zerlegungsrechner
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie die LU-Zerlegung von $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$.
Lösung
Beginne mit der Einheitsmatrix $$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$.
Ziehe die mit $$$\frac{3}{2}$$$ multiplizierte Zeile $$$1$$$ von Zeile $$$2$$$ ab: $$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
Tragen Sie den Koeffizienten $$$\frac{3}{2}$$$ in die Matrix $$$L$$$ in Zeile $$$2$$$, Spalte $$$1$$$ ein:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Ziehe die mit $$$\frac{1}{2}$$$ multiplizierte Zeile $$$1$$$ von Zeile $$$3$$$ ab: $$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
Tragen Sie den Koeffizienten $$$\frac{1}{2}$$$ in die Matrix $$$L$$$ in Zeile $$$3$$$, Spalte $$$1$$$ ein:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Addiere das $$$\frac{3}{25}$$$-Fache der Zeile $$$2$$$ zur Zeile $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
Tragen Sie den Koeffizienten $$$- \frac{3}{25}$$$ in die Matrix $$$L$$$ in Zeile $$$3$$$, Spalte $$$2$$$ ein:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
Die erhaltene Matrix ist die Matrix $$$U$$$.
Antwort
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A