Matrix-Diagonalisierungsrechner
Matrizen Schritt für Schritt diagonalisieren
Der Rechner diagonalisiert die gegebene Matrix (falls möglich) und zeigt die Schritte an.
Ihre Eingabe
Diagonalisiere $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.
Lösung
Bestimmen Sie zuerst die Eigenwerte und Eigenvektoren (für die Schritte siehe eigenvalues and eigenvectors calculator).
Eigenwert: $$$6$$$, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$.
Eigenwert: $$$3$$$, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$.
Eigenwert: $$$-2$$$, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$.
Bilden Sie die Matrix $$$P$$$, deren Spalte $$$i$$$ der Eigenvektor Nr. $$$i$$$ ist: $$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.
Bilde die Diagonalmatrix $$$D$$$, deren Element in Zeile $$$i$$$, Spalte $$$i$$$ der Eigenwert Nr. $$$i$$$ ist: $$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$.
Die Matrizen $$$P$$$ und $$$D$$$ sind so gewählt, dass die Ausgangsmatrix $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.
$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Inverse-Matrix-Rechner).
Antwort
$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A
$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A