Lagrange-Multiplikatoren: Maxima und Minima von $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ unter der Nebenbedingung $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ finden

Bestimmen Sie die maximalen und minimalen Werte von $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ unter der Nebenbedingung $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$.

Achtung! Dieser Rechner prüft die Voraussetzungen für die Anwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren nicht. Verwenden Sie ihn auf eigene Gefahr: Das Ergebnis kann falsch sein.

Formuliere die Nebenbedingung $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ als $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$ um.

Bilden Sie die Lagrange-Funktion: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.

Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Als Nächstes lösen Sie das Gleichungssystem $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ oder $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}.$$$

Das System hat die folgenden reellen Lösungen: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

Da wir nur einen Wert gefunden haben, müssen Sie noch prüfen, ob es sich um das Maximum oder das Minimum handelt. Nehmen Sie dazu einen anderen Punkt, der die Nebenbedingung(en) erfüllt, und bestimmen Sie den Funktionswert an diesem Punkt. Ist der Wert an diesem neuen Punkt kleiner als der Wert am ursprünglichen Punkt, dann ist der ursprüngliche Punkt das Maximum. Umgekehrt gilt: Ist der Wert am neuen Punkt größer, dann ist der ursprüngliche Punkt das Minimum.

Maximum und Minimum können nicht bestimmt werden.