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Lagrange-Multiplikatoren: Maxima und Minima von $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ unter der Nebenbedingung $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ finden
Verwandter Rechner: Rechner für kritische Punkte, Extrema und Sattelpunkte
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie die maximalen und minimalen Werte von $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ unter der Nebenbedingung $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$.
Lösung
Achtung! Dieser Rechner prüft die Voraussetzungen für die Anwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren nicht. Verwenden Sie ihn auf eigene Gefahr: Das Ergebnis kann falsch sein.
Formuliere die Nebenbedingung $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ als $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$ um.
Bilden Sie die Lagrange-Funktion: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.
Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
Als Nächstes lösen Sie das Gleichungssystem $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ oder $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}.$$$
Das System hat die folgende reelle Lösung: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.
$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$
Betrachte den Punkt $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$.
Da $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ größer als $$$64$$$ ist, kann festgestellt werden, dass $$$64$$$ das Minimum ist.
Antwort
Maximum
Kein Maximum.
Minimum
$$$64$$$A an der Stelle $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A.