Divergenz von $$$\left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$

Berechne $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$.

Nach Definition gilt $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$, oder, äquivalent dazu, $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$, wobei $$$\cdot$$$ der Skalarprodukt-Operator ist.

Somit gilt $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right).$$$

Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Komponente 1 nach $$$x$$$: $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) = 2 x y$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Komponente 2 nach $$$y$$$: $$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) = x z$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Komponente 3 nach $$$z$$$: $$$\frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right) = 2 y z$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bilde nun einfach die Summe der obigen Ausdrücke, um die Divergenz zu erhalten: $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$.

$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$A