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Divergenz-Rechner

Divergenz Schritt für Schritt berechnen

Der Rechner berechnet die Divergenz des gegebenen Vektorfeldes und zeigt die Schritte.

Ähnliche Rechner: Rechner für partielle Ableitungen, Skalarprodukt-Rechner

$$$\langle$$$
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Berechne $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$.

Lösung

Nach Definition gilt $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$, oder, äquivalent dazu, $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$, wobei $$$\cdot$$$ der Skalarprodukt-Operator ist.

Somit gilt $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{z}\right).$$$

Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Komponente 1 nach $$$x$$$: $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)}$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Komponente 2 nach $$$y$$$: $$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)}$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Komponente 3 nach $$$z$$$: $$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{z}\right) = e^{z}$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bilde nun einfach die Summe der obigen Ausdrücke, um die Divergenz zu erhalten: $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = - x \sin{\left(x y \right)} + y \cos{\left(x y \right)} + e^{z}.$$$

Antwort

$$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = - x \sin{\left(x y \right)} + y \cos{\left(x y \right)} + e^{z}$$$A