No AI is used
  1. Startseite
  2. Rechner
  3. Rechner: Analysis III
  4. Analysis-Rechner

Divergenz-Rechner

Divergenz Schritt für Schritt berechnen

Der Rechner berechnet die Divergenz des gegebenen Vektorfeldes und zeigt die Schritte.

Ähnliche Rechner: Rechner für partielle Ableitungen, Skalarprodukt-Rechner

$$$\langle$$$
,
,
$$$\rangle$$$
$$$($$$
,
,
$$$)$$$
Leer lassen, wenn Sie die Divergenz an einem bestimmten Punkt nicht benötigen.

Wenn der Rechner etwas nicht berechnet hat oder Sie einen Fehler festgestellt haben oder einen Vorschlag oder Feedback haben, bitte kontaktieren Sie uns.

Ihre Eingabe

Berechne $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$.

Lösung

Nach Definition gilt $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$, oder, äquivalent dazu, $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$, wobei $$$\cdot$$$ der Skalarprodukt-Operator ist.

Somit gilt $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{z}\right).$$$

Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Komponente 1 nach $$$x$$$: $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)}$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Komponente 2 nach $$$y$$$: $$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)}$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bestimmen Sie die partielle Ableitung der Komponente 3 nach $$$z$$$: $$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{z}\right) = e^{z}$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bilde nun einfach die Summe der obigen Ausdrücke, um die Divergenz zu erhalten: $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = - x \sin{\left(x y \right)} + y \cos{\left(x y \right)} + e^{z}.$$$

Antwort

$$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = - x \sin{\left(x y \right)} + y \cos{\left(x y \right)} + e^{z}$$$A