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Krümmung von $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$
Ähnliche Rechner: Rechner für den Einheits-Binormalenvektor, Torsionsrechner
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie die Krümmung von $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$.
Lösung
Bestimme die Ableitung von $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)} = \left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).
Bestimme den Betrag von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 x^{2} + 1}$$$ (für die Schritte siehe Betragsrechner).
Bestimme die Ableitung von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 2, 0\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).
Berechnen Sie das Kreuzprodukt: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Kreuzprodukt-Rechner).
Bestimme den Betrag von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = 2$$$ (für die Schritte siehe Betragsrechner).
Schließlich ist die Krümmung $$$\kappa\left(x\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}.$$$
Antwort
Die Krümmung ist $$$\kappa\left(x\right) = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A.