Kritische Punkte, Extrema und Sattelpunkte von $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$

Bestimmen und klassifizieren Sie die kritischen Punkte von $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$.

Der erste Schritt besteht darin, alle partiellen Ableitungen erster Ordnung zu berechnen:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Als Nächstes lösen Sie das Gleichungssystem $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ oder $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$.

Das System hat die folgende reelle Lösung: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

Versuchen wir nun, es zu klassifizieren.

Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Definieren Sie den Ausdruck $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}.$$$

Da $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ kleiner als $$$0$$$ ist, kann festgestellt werden, dass $$$\left(0, 0\right)$$$ ein Sattelpunkt ist.

Lokale Maxima

Keine relativen Maxima.

Lokale Minima

Keine relativen Minima.

Sattelpunkte

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A