Simpsons Regelrechner für eine Funktion

Ein Online-Rechner zum Nähern eines bestimmten Integrals unter Verwendung der (parabolischen) 1/3-Regel von Simpson, mit gezeigten Schritten.

Verwandter Rechner: Simpsons Regelrechner für eine Tabelle

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Ungefähre das Integral $$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx$$$ mit $$$n = 4$$$ der Regel Simpson verwenden.

Lösung

Die Simpsons 1/3-Regel (auch als Parabelregel bekannt) verwendet Parabeln, um die Fläche anzunähern:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

wo $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Wir haben das $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 1$$$ und $$$n = 4$$$.

Daher $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}$$$.

Unterteilen des Intervalls $$$\left[0, 1\right]$$$ in $$$n = 4$$$ Teilintervalle der Länge $$$\Delta x = \frac{1}{4}$$$ mit folgenden Endpunkte: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{4}$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$\frac{3}{4}$$$, $$$1 = b$$$.

Bewerten Sie nun einfach die Funktion an diesen Endpunkten.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471$$$

$$$4 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808$$$

$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697$$$

$$$4 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5$$$

Zum Schluss summieren Sie einfach die obigen Werte und multiplizieren mit $$$\frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12}$$$: $$$\frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237.$$$

Antwort

$$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx\approx 0.518798359105237$$$A