Rechner zur Simpsonschen 3/8-Regel für eine Tabelle
Ein Integral (gegeben durch eine Wertetabelle) mithilfe der Simpsonschen 3/8-Regel Schritt für Schritt approximieren
Für die gegebene Wertetabelle ermittelt der Rechner den Näherungswert des Integrals mithilfe der Simpsonschen 3/8-Regel, mit angezeigten Lösungsschritten.
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Ihre Eingabe
Approximieren Sie das Integral $$$\int\limits_{0}^{12} f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit der Simpsonschen 3/8-Regel mithilfe der untenstehenden Tabelle:
| $$$x$$$ | $$$0$$$ | $$$2$$$ | $$$4$$$ | $$$6$$$ | $$$8$$$ | $$$10$$$ | $$$12$$$ |
| $$$f{\left(x \right)}$$$ | $$$5$$$ | $$$-2$$$ | $$$1$$$ | $$$6$$$ | $$$7$$$ | $$$3$$$ | $$$4$$$ |
Lösung
Die Simpson-3/8-Regel approximiert das Integral mithilfe kubischer Polynome: $$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \sum_{i=1}^{\frac{n - 1}{3}} \frac{3 \Delta x_{i}}{8} \left(f{\left(x_{3i-2} \right)} + 3 f{\left(x_{3i-1} \right)} + 3 f{\left(x_{3i} \right)} + f{\left(x_{3i+1} \right)}\right)$$$, wobei $$$n$$$ die Anzahl der Punkte ist und $$$\Delta x_{i}$$$ die Länge des Teilintervalls Nr. $$$3 i - 2$$$ ist.
$$$\int\limits_{0}^{12} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{3 \left(2 - 0\right)}{8} \left(f{\left(0 \right)} + 3 f{\left(2 \right)} + 3 f{\left(4 \right)} + f{\left(6 \right)}\right) + \frac{3 \left(8 - 6\right)}{8} \left(f{\left(6 \right)} + 3 f{\left(8 \right)} + 3 f{\left(10 \right)} + f{\left(12 \right)}\right)$$$
Daher $$$\int\limits_{0}^{12} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{3 \left(2 - 0\right)}{8} \left(5 + \left(3\right)\cdot \left(-2\right) + \left(3\right)\cdot \left(1\right) + 6\right) + \frac{3 \left(8 - 6\right)}{8} \left(6 + \left(3\right)\cdot \left(7\right) + \left(3\right)\cdot \left(3\right) + 4\right) = 36.$$$
Antwort
$$$\int\limits_{0}^{12} f{\left(x \right)}\, dx\approx 36$$$A