|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wandle $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ in kartesische Koordinaten um
Verwandter Rechner: Rechner für Polar- und kartesische Koordinaten
Ihre Eingabe
Wandle $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ in kartesische Koordinaten um.
Lösung
Wenden Sie die Formel $$$\cos{\left(3 \alpha \right)} = \cos^{3}{\left(\alpha \right)} - 3 \sin^{2}{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)}$$$ mit $$$\alpha = \theta$$$ an: $$$16 r = - 3 \sin^{2}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} + \cos^{3}{\left(\theta \right)}$$$.
Aus $$$x = r \cos{\left(\theta \right)}$$$ und $$$y = r \sin{\left(\theta \right)}$$$ folgt, dass $$$\cos{\left(\theta \right)} = \frac{x}{r}$$$, $$$\sin{\left(\theta \right)} = \frac{y}{r}$$$, $$$\tan{\left(\theta \right)} = \frac{y}{x}$$$ und $$$\cot{\left(\theta \right)} = \frac{x}{y}$$$.
Die Eingabe wird zu $$$16 r = \frac{x^{3}}{r^{3}} - \frac{3 x y^{2}}{r^{3}}$$$.
Vereinfachen: Die Eingabe hat nun die Form $$$16 r^{4} - x^{3} + 3 x y^{2} = 0$$$.
In kartesischen Koordinaten gelten $$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$$ und $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{x} \right)}$$$.
Somit kann die Eingabe als $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$ umgeschrieben werden.
Antwort
$$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$A in kartesischen Koordinaten ist $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$A.