Rechner für die Bogenlänge einer Kurve
Bogenlänge einer Kurve Schritt für Schritt berechnen
Der Rechner versucht, die Bogenlänge der expliziten, polaren oder parametrischen Kurve auf dem gegebenen Intervall zu berechnen, wobei die Schritte angezeigt werden.
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie die exakte Bogenlänge von $$$y = \sqrt{x}$$$ im Intervall $$$\left[0, 2\right]$$$.
Lösung
Die Länge der expliziten Kurve ist durch $$$L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2}\, dx$$$ gegeben.
Bestimme zunächst die Ableitung: $$$f'\left(x\right)=\left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner.)
Berechnen Sie abschließend das Integral: $$$L = \int\limits_{0}^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^{2}}\, dx = \int\limits_{0}^{2} \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x}}}{2}\, dx.$$$
Die Berechnungen und das Ergebnis des Integrals können hier eingesehen werden.
Antwort
Die Berechnungen und das Ergebnis des Integrals können hier eingesehen werden.