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Momentane Änderungsrate von $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ an der Stelle $$$x = 3$$$
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate der Funktion $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ an der Stelle $$$x = 3$$$.
Lösung
Die momentane Änderungsrate der Funktion $$$f{\left(x \right)}$$$ im Punkt $$$x = x_{0}$$$ ist die Ableitung der Funktion $$$f{\left(x \right)}$$$, ausgewertet im Punkt $$$x = x_{0}$$$.
Das bedeutet, dass wir die Ableitung von $$$5 x^{x}$$$ bestimmen und sie an der Stelle $$$x = 3$$$ auswerten müssen.
Bestimmen Sie also die Ableitung der Funktion: $$$\frac{d}{dx} \left(5 x^{x}\right) = 5 x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$ (für die Schritte siehe derivative calculator).
Werten Sie schließlich die Ableitung an der Stelle $$$x = 3$$$ aus.
$$$\left(\frac{d}{dx} \left(5 x^{x}\right)\right)|_{\left(x = 3\right)} = \left(5 x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)\right)|_{\left(x = 3\right)} = 135 + 135 \ln\left(3\right)$$$
Daher beträgt die momentane Änderungsrate von $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ im Punkt $$$x = 3$$$ $$$135 + 135 \ln\left(3\right)$$$.
Antwort
Die momentane Änderungsrate von $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$A an der Stelle $$$x = 3$$$A ist $$$135 + 135 \ln\left(3\right)\approx 283.312658970194808$$$A.