Rechner für das Differential einer Funktion
Finde das Differential der Funktion Schritt für Schritt
Für die gegebene Funktion $$$y=f(x)$$$, die Stelle $$$x_0$$$ und die Argumentänderung $$$\Delta x_0$$$, berechnet der Rechner das Differential $$$dy$$$ und die Funktionsänderung $$$\Delta y$$$ und zeigt die Rechenschritte an.
Ihre Eingabe
Bestimme das Differential $$$dy$$$ und die Funktionsänderung $$$\Delta y$$$ der Funktion $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ bei $$$x_{0} = 1$$$ und $$$\Delta x_{0} = \frac{1}{4}$$$.
Lösung
Bestimme den zweiten Punkt: $$$x_{0} + \Delta x_{0} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$$.
Berechne die Funktionswerte an den beiden Punkten: $$$f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \frac{125}{64}$$$, $$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(1 \right)} = 1$$$.
Gemäß der Definition: $$$\Delta y = f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} - f{\left(x_{0} \right)} = \frac{125}{64} - 1 = \frac{61}{64}$$$.
Bestimme die Ableitung: $$$f^{\prime }\left(x\right) = 3 x^{2}$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).
Werte die Ableitung an der Stelle $$$x_{0} = 1$$$ aus: $$$f^{\prime }\left(1\right) = 3$$$.
Das Differential wird definiert als $$$dy = f^{\prime }\left(x_{0}\right) \Delta x_{0} = \left(3\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$$$.
Beachte, dass sich der Wert von $$$dy$$$ $$$\Delta y$$$ annähert, wenn $$$\Delta x_0 \to 0$$$.
Antwort
$$$\Delta y = \frac{61}{64} = 0.953125$$$A, $$$dy = \frac{3}{4} = 0.75$$$A.