Polarform von $$$- 2 \sqrt{3} - 6 i$$$

Bestimmen Sie die Polarform von $$$- 2 \sqrt{3} - 6 i$$$.

Die Standardform der komplexen Zahl ist $$$- 2 \sqrt{3} - 6 i$$$.

Für eine komplexe Zahl $$$a + b i$$$ ist die Polarform durch $$$r \left(\cos{\left(\theta \right)} + i \sin{\left(\theta \right)}\right)$$$ gegeben, wobei $$$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$$ und $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{b}{a} \right)}$$$.

Es gilt, dass $$$a = - 2 \sqrt{3}$$$ und $$$b = -6$$$.

Somit gilt $$$r = \sqrt{\left(- 2 \sqrt{3}\right)^{2} + \left(-6\right)^{2}} = 4 \sqrt{3}$$$.

Außerdem $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{-6}{- 2 \sqrt{3}} \right)} - \pi = - \frac{2 \pi}{3}$$$.

Daher $$$- 2 \sqrt{3} - 6 i = 4 \sqrt{3} \left(\cos{\left(- \frac{2 \pi}{3} \right)} + i \sin{\left(- \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)$$$.

$$$- 2 \sqrt{3} - 6 i = 4 \sqrt{3} \left(\cos{\left(- \frac{2 \pi}{3} \right)} + i \sin{\left(- \frac{2 \pi}{3} \right)}\right) = 4 \sqrt{3} \left(\cos{\left(-120^{\circ} \right)} + i \sin{\left(-120^{\circ} \right)}\right)$$$A