Polarform von $$$-1 + \sqrt{3} i$$$

Bestimmen Sie die Polarform von $$$-1 + \sqrt{3} i$$$.

Die Standardform der komplexen Zahl ist $$$-1 + \sqrt{3} i$$$.

Für eine komplexe Zahl $$$a + b i$$$ ist die Polarform durch $$$r \left(\cos{\left(\theta \right)} + i \sin{\left(\theta \right)}\right)$$$ gegeben, wobei $$$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$$ und $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{b}{a} \right)}$$$.

Es gilt, dass $$$a = -1$$$ und $$$b = \sqrt{3}$$$.

Somit gilt $$$r = \sqrt{\left(-1\right)^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = 2$$$.

Außerdem $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{-1} \right)} + \pi = \frac{2 \pi}{3}$$$.

Daher $$$-1 + \sqrt{3} i = 2 \left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{3} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{3} \right)}\right)$$$.

$$$-1 + \sqrt{3} i = 2 \left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{3} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{3} \right)}\right) = 2 \left(\cos{\left(120^{\circ} \right)} + i \sin{\left(120^{\circ} \right)}\right)$$$A