Umkehrfunktion von $$$y = \sin{\left(x \right)}$$$

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion $$$y = \sin{\left(x \right)}$$$.

Um die Umkehrfunktion zu finden, vertauschen Sie $$$x$$$ und $$$y$$$ und lösen Sie die entstehende Gleichung nach $$$y$$$ auf.

Das bedeutet, dass die Umkehrfunktion die Spiegelung der Funktion an der Geraden $$$y = x$$$ ist.

Wenn die ursprüngliche Funktion nicht injektiv ist, dann gibt es mehr als eine Umkehrfunktion.

Also, vertausche die Variablen: $$$y = \sin{\left(x \right)}$$$ wird zu $$$x = \sin{\left(y \right)}$$$.

Löse nun die Gleichung $$$x = \sin{\left(y \right)}$$$ nach $$$y$$$ auf.

$$$y = \left\{2 \pi n_{1} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}\; \middle|\; n_{1} \in \mathbb{Z}\right\}$$$

$$$y = \left\{2 \pi n_{1} - \operatorname{asin}{\left(x \right)} + \pi\; \middle|\; n_{1} \in \mathbb{Z}\right\}$$$

$$$y = \left\{2 \pi n_{1} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}\; \middle|\; n_{1} \in \mathbb{Z}\right\}$$$A

$$$y = \left\{2 \pi n_{1} - \operatorname{asin}{\left(x \right)} + \pi\; \middle|\; n_{1} \in \mathbb{Z}\right\}$$$A

Graph: Siehe den Grafikrechner.