Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$

Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$.

Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.

Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$-30$$$.

Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.

Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.

Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$1$$$.

Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$.

Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.

Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.

Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).

Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.

Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -60$$$; daher ist der Rest $$$-60$$$.

• Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.

  Somit ist $$$-1$$$ eine Nullstelle.

• Überprüfe $$$2$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - 2$$$.

  $$$P{\left(2 \right)} = -84$$$; daher ist der Rest $$$-84$$$.

• Überprüfe $$$-2$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.

  $$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$; daher ist der Rest $$$24$$$.

• Überprüfe $$$3$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = -96$$$; daher ist der Rest $$$-96$$$.

• Überprüfe $$$-3$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$; daher ist der Rest $$$36$$$.

• Überprüfe $$$5$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - 5$$$.

  $$$P{\left(5 \right)} = -60$$$; daher ist der Rest $$$-60$$$.

• Überprüfe $$$-5$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.

  $$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.

  Somit ist $$$-5$$$ eine Nullstelle.

• Überprüfe $$$6$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - 6$$$.

  $$$P{\left(6 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.

  Somit ist $$$6$$$ eine Nullstelle.

• Überprüfe $$$-6$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.

  $$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$; daher ist der Rest $$$-60$$$.

• Überprüfe $$$10$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - 10$$$.

  $$$P{\left(10 \right)} = 660$$$; daher ist der Rest $$$660$$$.

• Überprüfe $$$-10$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.

  $$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$; daher ist der Rest $$$-720$$$.

• Überprüfe $$$15$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - 15$$$.

  $$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; daher ist der Rest $$$2880$$$.

• Überprüfe $$$-15$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.

  $$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$; daher ist der Rest $$$-2940$$$.

• Überprüfe $$$30$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - 30$$$.

  $$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$; daher ist der Rest $$$26040$$$.

• Überprüfe $$$-30$$$: Teile $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ durch $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$.

  $$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$; daher ist der Rest $$$-26100$$$.

Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.

Tatsächliche rationale Nullstellen: $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.