Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$
Ihre Eingabe
Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$x^{6} - 64 = 0$$$.
Lösung
Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.
Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$-64$$$.
Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.
Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$1$$$.
Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.
Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$.
Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).
Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -63$$$; daher ist der Rest $$$-63$$$.
Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$; daher ist der Rest $$$-63$$$.
Überprüfe $$$2$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$2$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$-2$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$-2$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$4$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$; daher ist der Rest $$$4032$$$.
Überprüfe $$$-4$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$; daher ist der Rest $$$4032$$$.
Überprüfe $$$8$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - 8$$$.
$$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$; daher ist der Rest $$$262080$$$.
Überprüfe $$$-8$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$.
$$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$; daher ist der Rest $$$262080$$$.
Überprüfe $$$16$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - 16$$$.
$$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$; daher ist der Rest $$$16777152$$$.
Überprüfe $$$-16$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$.
$$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$; daher ist der Rest $$$16777152$$$.
Überprüfe $$$32$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - 32$$$.
$$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$; daher ist der Rest $$$1073741760$$$.
Überprüfe $$$-32$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$.
$$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$; daher ist der Rest $$$1073741760$$$.
Überprüfe $$$64$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - 64$$$.
$$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$; daher ist der Rest $$$68719476672$$$.
Überprüfe $$$-64$$$: Teile $$$x^{6} - 64$$$ durch $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$.
$$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$; daher ist der Rest $$$68719476672$$$.
Antwort
Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A.
Tatsächliche rationale Nullstellen: $$$2$$$, $$$-2$$$A.