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Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$
Ihre Eingabe
Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49 = 0$$$.
Lösung
Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.
Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$-49$$$.
Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.
Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$1$$$.
Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.
Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{49}{1}$$$.
Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).
Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ durch $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -96$$$; daher ist der Rest $$$-96$$$.
Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -96$$$; daher ist der Rest $$$-96$$$.
Überprüfe $$$7$$$: Teile $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ durch $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$7$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$-7$$$: Teile $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ durch $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$-7$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$49$$$: Teile $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ durch $$$x - 49$$$.
$$$P{\left(49 \right)} = 5649504$$$; daher ist der Rest $$$5649504$$$.
Überprüfe $$$-49$$$: Teile $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ durch $$$x - \left(-49\right) = x + 49$$$.
$$$P{\left(-49 \right)} = 5649504$$$; daher ist der Rest $$$5649504$$$.
Antwort
Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$A.
Tatsächliche rationale Nullstellen: $$$7$$$, $$$-7$$$A.