Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$

Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$.

Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.

Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$9$$$.

Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.

Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$4$$$.

Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$.

Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.

Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).

Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -24$$$; daher ist der Rest $$$-24$$$.

• Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$; daher ist der Rest $$$-24$$$.

• Überprüfe $$$\frac{1}{2}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.

  Somit ist $$$\frac{1}{2}$$$ eine Nullstelle.

• Überprüfe $$$- \frac{1}{2}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.

  Somit ist $$$- \frac{1}{2}$$$ eine Nullstelle.

• Überprüfe $$$\frac{1}{4}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; daher ist der Rest $$$\frac{429}{64}$$$.

• Überprüfe $$$- \frac{1}{4}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; daher ist der Rest $$$\frac{429}{64}$$$.

• Überprüfe $$$3$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.

  Somit ist $$$3$$$ eine Nullstelle.

• Überprüfe $$$-3$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.

  Somit ist $$$-3$$$ eine Nullstelle.

• Überprüfe $$$\frac{3}{2}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$; daher ist der Rest $$$-54$$$.

• Überprüfe $$$- \frac{3}{2}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$; daher ist der Rest $$$-54$$$.

• Überprüfe $$$\frac{3}{4}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; daher ist der Rest $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Überprüfe $$$- \frac{3}{4}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; daher ist der Rest $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Überprüfe $$$9$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - 9$$$.

  $$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$; daher ist der Rest $$$23256$$$.

• Überprüfe $$$-9$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.

  $$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$; daher ist der Rest $$$23256$$$.

• Überprüfe $$$\frac{9}{2}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$; daher ist der Rest $$$900$$$.

• Überprüfe $$$- \frac{9}{2}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$; daher ist der Rest $$$900$$$.

• Überprüfe $$$\frac{9}{4}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; daher ist der Rest $$$- \frac{4851}{64}$$$.

• Überprüfe $$$- \frac{9}{4}$$$: Teile $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ durch $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; daher ist der Rest $$$- \frac{4851}{64}$$$.

Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.

Tatsächliche rationale Nullstellen: $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.