Rational-Null-Theorem-Rechner

Der Rechner findet alle möglichen rationalen Nullstellen des Polynoms unter Verwendung des Satzes der rationalen Nullen. Danach wird entschieden, welche möglichen Wurzeln tatsächlich die Wurzeln sind. Dies ist ein allgemeinerer Fall des ganzzahligen (ganzzahligen) Wurzelsatzes (wenn der führende Koeffizient $$$1$$$ oder $$$-1$$$ ist). Schritte sind verfügbar.

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Finden Sie die rationalen Nullstellen des $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$.

Lösung

Da alle Koeffizienten ganze Zahlen sind, können wir den Satz der rationalen Nullen anwenden.

Der nachlaufende Koeffizient (der Koeffizient des konstanten Termes) ist der $$$7$$$.

Finden Sie seine Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.

Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.

Der führende Koeffizient (der Koeffizient des Begriffs mit dem höchsten Grad) ist $$$2$$$.

Finden Sie seine Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.

Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.

Finden Sie alle möglichen $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Vereinfachen und entfernen Sie die Duplikate (falls vorhanden).

Dies sind die möglichen rationalen Wurzeln: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Als nächstes überprüfen die möglichen Wurzeln: wenn $$$a$$$ eine Wurzel des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$, wobei der Rest aus der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ sollte gleich $$$0$$$ (nach der Resttheorem, bedeutet dies , dass die $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ ).

  • $$$1$$$ prüfen: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - 1$$$.

    $$$P{\left(1 \right)} = -12$$$ ; der Rest ist also $$$-12$$$.

  • $$$-1$$$ prüfen: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

    $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$ ; der Rest ist also $$$0$$$.

    Daher ist $$$-1$$$ eine Wurzel.

  • $$$\frac{1}{2}$$$ prüfen: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$ ; der Rest ist also $$$0$$$.

    Daher ist $$$\frac{1}{2}$$$ eine Wurzel.

  • $$$- \frac{1}{2}$$$ prüfen: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$ ; der Rest ist also $$$\frac{27}{4}$$$.

  • $$$7$$$ prüfen: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - 7$$$.

    $$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$ ; der Rest ist also $$$4368$$$.

  • $$$-7$$$ prüfen: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.

    $$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$ ; der Rest ist also $$$3780$$$.

  • $$$\frac{7}{2}$$$ prüfen: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$ ; der Rest ist also $$$\frac{567}{4}$$$.

  • $$$- \frac{7}{2}$$$ prüfen: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$ ; der Rest ist also $$$105$$$.

Antwort

Mögliche rationale Wurzeln: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.

Tatsächliche rationale Wurzeln: $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.