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Rechner zum Satz von den rationalen Nullstellen

Finde alle möglichen rationalen Nullstellen von Polynomen Schritt für Schritt

Der Rechner findet mithilfe des Satzes über rationale Nullstellen alle möglichen rationalen Nullstellen des Polynoms. Anschließend entscheidet er, welche der möglichen Nullstellen tatsächlich Nullstellen sind. Dies ist ein allgemeinerer Fall des Satzes über ganzzahlige (integrale) Nullstellen (wenn der führende Koeffizient $$$1$$$ oder $$$-1$$$ ist). Schritte sind verfügbar.

Wenn der Rechner etwas nicht berechnet hat oder Sie einen Fehler festgestellt haben oder einen Vorschlag oder Feedback haben, bitte kontaktieren Sie uns.

Ihre Eingabe

Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$.

Lösung

Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.

Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$7$$$.

Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.

Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.

Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$2$$$.

Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.

Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.

Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).

Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

  • Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - 1$$$.

    $$$P{\left(1 \right)} = -12$$$; daher ist der Rest $$$-12$$$.

  • Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

    $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.

    Somit ist $$$-1$$$ eine Nullstelle.

  • Überprüfe $$$\frac{1}{2}$$$: Teile $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.

    Somit ist $$$\frac{1}{2}$$$ eine Nullstelle.

  • Überprüfe $$$- \frac{1}{2}$$$: Teile $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$; daher ist der Rest $$$\frac{27}{4}$$$.

  • Überprüfe $$$7$$$: Teile $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - 7$$$.

    $$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$; daher ist der Rest $$$4368$$$.

  • Überprüfe $$$-7$$$: Teile $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.

    $$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$; daher ist der Rest $$$3780$$$.

  • Überprüfe $$$\frac{7}{2}$$$: Teile $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$; daher ist der Rest $$$\frac{567}{4}$$$.

  • Überprüfe $$$- \frac{7}{2}$$$: Teile $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ durch $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$; daher ist der Rest $$$105$$$.

Antwort

Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.

Tatsächliche rationale Nullstellen: $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.