Teile $$$x^{3} - 1$$$ durch $$$x - 2$$$

Geben Sie die Aufgabe im speziellen Format ein (fehlende Terme werden mit dem Koeffizienten 0 angegeben):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

Schritt 1

Teile den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$.

Subtrahiere den Dividenden vom erhaltenen Ergebnis: $$$\left(x^{3}-1\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = 2 x^{2}-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chocolate}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Chocolate}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Chocolate}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chocolate}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{Chocolate}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&2 x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

Schritt 2

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$2 x \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(2 x^{2}-1\right) - \left(2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkCyan}+2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkCyan}2 x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{DarkCyan}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}2 x}\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{DarkCyan}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&4 x&-1&\end{array}$$

Schritt 3

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{4 x}{x} = 4$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$4 \left(x-2\right) = 4 x-8$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(4 x-1\right) - \left(4 x-8\right) = 7$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+2 x&{\color{Peru}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&2 x^{2}&+0 x&-1&\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&{\color{Peru}4 x}&-1&\frac{{\color{Peru}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&-8&{\color{Peru}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&7&\end{array}$$

Da der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die resultierende Tabelle wird erneut angezeigt:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chocolate}x^{2}}&{\color{DarkCyan}+2 x}&{\color{Peru}+4}&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Chocolate}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Chocolate}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chocolate}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{Chocolate}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkCyan}2 x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{DarkCyan}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}2 x}\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{DarkCyan}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&{\color{Peru}4 x}&-1&\frac{{\color{Peru}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&-8&{\color{Peru}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&7&\end{array}$$

Daher $$$\frac{x^{3} - 1}{x - 2} = \left(x^{2} + 2 x + 4\right) + \frac{7}{x - 2}$$$.