Teile $$$x^{3} \left(x - 1\right)$$$ durch $$$x - 2$$$

Schreibe den Dividenden um: $$$x^{3} \left(x - 1\right) = x^{4} - x^{3}$$$.

Geben Sie die Aufgabe im speziellen Format ein (fehlende Terme werden mit dem Koeffizienten 0 angegeben):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{4}- x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Schritt 1

Teile den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: $$$\frac{x^{4}}{x} = x^{3}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$x^{3} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}$$$.

Subtrahiere den Dividenden vom erhaltenen Ergebnis: $$$\left(x^{4}- x^{3}\right) - \left(x^{4}- 2 x^{3}\right) = x^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}x^{3}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Blue}x^{4}}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&{\color{Blue}x^{3}} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Schritt 2

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = 2 x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&{\color{Brown}+x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&{\color{Brown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{Brown}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&&2 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Schritt 3

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$2 x \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(2 x^{2}\right) - \left(2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&{\color{Green}+2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Green}2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}2 x}\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Green}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&&4 x&+0&\end{array}$$

Schritt 4

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{4 x}{x} = 4$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$4 \left(x-2\right) = 4 x-8$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(4 x\right) - \left(4 x-8\right) = 8$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&+2 x&{\color{OrangeRed}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&&2 x^{2}&+0 x&+0&\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&&{\color{OrangeRed}4 x}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}4}\\&&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&&4 x&-8&{\color{OrangeRed}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&&8&\end{array}$$

Da der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die resultierende Tabelle wird erneut angezeigt:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}x^{3}}&{\color{Brown}+x^{2}}&{\color{Green}+2 x}&{\color{OrangeRed}+4}&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Blue}x^{4}}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&{\color{Blue}x^{3}} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}\\\hline\\&&{\color{Brown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{Brown}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&&{\color{Green}2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}2 x}\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Green}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&&{\color{OrangeRed}4 x}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}4}\\&&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&&4 x&-8&{\color{OrangeRed}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&&8&\end{array}$$

Daher $$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)}{x - 2} = \left(x^{3} + x^{2} + 2 x + 4\right) + \frac{8}{x - 2}$$$.