Teile $$$x^{4}$$$ durch $$$x - 1$$$

Geben Sie die Aufgabe im speziellen Format ein (fehlende Terme werden mit dem Koeffizienten 0 angegeben):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Schritt 1

Teile den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: $$$\frac{x^{4}}{x} = x^{3}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$x^{3} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}$$$.

Subtrahiere den Dividenden vom erhaltenen Ergebnis: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{3}\right) = x^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}x^{3}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Blue}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&{\color{Blue}x^{3}} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Schritt 2

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&{\color{SaddleBrown}+x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{SaddleBrown}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Schritt 3

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&{\color{DarkMagenta}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkMagenta}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}x}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&{\color{DarkMagenta}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&&x&+0&\end{array}$$

Schritt 4

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{x}{x} = 1$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&+x&{\color{OrangeRed}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&&{\color{OrangeRed}x}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}1}\\&&&&-\phantom{x}&&\\&&&&x&-1&{\color{OrangeRed}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Da der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die resultierende Tabelle wird erneut angezeigt:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}x^{3}}&{\color{SaddleBrown}+x^{2}}&{\color{DarkMagenta}+x}&{\color{OrangeRed}+1}&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Blue}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&{\color{Blue}x^{3}} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{SaddleBrown}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkMagenta}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}x}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&{\color{DarkMagenta}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&&{\color{OrangeRed}x}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}1}\\&&&&-\phantom{x}&&\\&&&&x&-1&{\color{OrangeRed}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Daher $$$\frac{x^{4}}{x - 1} = \left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$.