Teile $$$x^{3} + 7 x^{2} + 1$$$ durch $$$x - 1$$$

Berechne $$$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 1}{x - 1}$$$ mithilfe der schriftlichen Division.

Geben Sie die Aufgabe im speziellen Format ein (fehlende Terme werden mit dem Koeffizienten 0 angegeben):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+7 x^{2}+0 x+1\end{array}$$$

Schritt 1

Teile den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Subtrahiere den Dividenden vom erhaltenen Ergebnis: $$$\left(x^{3}+7 x^{2}+1\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = 8 x^{2}+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Brown}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{Brown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Brown}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\end{array}$$

Schritt 2

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{8 x^{2}}{x} = 8 x$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$8 x \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(8 x^{2}+1\right) - \left(8 x^{2}- 8 x\right) = 8 x+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{GoldenRod}+8 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{GoldenRod}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{GoldenRod}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&8 x&+1&\end{array}$$

Schritt 3

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{8 x}{x} = 8$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$8 \left(x-1\right) = 8 x-8$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(8 x+1\right) - \left(8 x-8\right) = 9$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+8 x&{\color{Red}+8}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&\\\hline\\&&&{\color{Red}8 x}&+1&\frac{{\color{Red}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Red}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

Da der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die resultierende Tabelle wird erneut angezeigt:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}x^{2}}&{\color{GoldenRod}+8 x}&{\color{Red}+8}&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Brown}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{Brown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Brown}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{GoldenRod}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{GoldenRod}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&{\color{Red}8 x}&+1&\frac{{\color{Red}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Red}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

Daher $$$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 1}{x - 1} = \left(x^{2} + 8 x + 8\right) + \frac{9}{x - 1}$$$.