Teile $$$x^{4}$$$ durch $$$x^{2} - 1$$$

Geben Sie die Aufgabe im speziellen Format ein (fehlende Terme werden mit dem Koeffizienten 0 angegeben):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Schritt 1

Teile den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: $$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$.

Subtrahiere den Dividenden vom erhaltenen Ergebnis: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Fuchsia}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Fuchsia}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Fuchsia}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Fuchsia}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Schritt 2

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{BlueViolet}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{BlueViolet}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Da der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die resultierende Tabelle wird erneut angezeigt:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Fuchsia}x^{2}}&{\color{BlueViolet}+1}&&&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Fuchsia}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Fuchsia}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Fuchsia}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{BlueViolet}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Daher $$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$.