Teile $$$y^{3}$$$ durch $$$1 - y$$$

Geben Sie die Aufgabe im speziellen Format ein (fehlende Terme werden mit dem Koeffizienten 0 angegeben):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

Schritt 1

Teile den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: $$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$.

Subtrahiere den Dividenden vom erhaltenen Ergebnis: $$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Crimson}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Crimson}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Crimson}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Crimson}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

Schritt 2

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{DarkBlue}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{DarkBlue}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{DarkBlue}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{DarkBlue}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

Schritt 3

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{y}{- y} = -1$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{OrangeRed}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}y}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{OrangeRed}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{OrangeRed}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Da der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die resultierende Tabelle wird erneut angezeigt:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}- y^{2}}&{\color{DarkBlue}- y}&{\color{OrangeRed}-1}&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Crimson}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Crimson}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Crimson}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Crimson}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{DarkBlue}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{DarkBlue}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{DarkBlue}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}y}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{OrangeRed}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{OrangeRed}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Daher $$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$.