Teile $$$v^{4}$$$ durch $$$v^{2} + 1$$$

Geben Sie die Aufgabe im speziellen Format ein (fehlende Terme werden mit dem Koeffizienten 0 angegeben):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{4}+0 v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

Schritt 1

Teile den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: $$$\frac{v^{4}}{v^{2}} = v^{2}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$v^{2} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}$$$.

Subtrahiere den Dividenden vom erhaltenen Ergebnis: $$$\left(v^{4}\right) - \left(v^{4}+v^{2}\right) = - v^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Red}v^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Red}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Red}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Red}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Red}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&- v^{2}&+0 v&+0&\end{array}$$

Schritt 2

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{- v^{2}}{v^{2}} = -1$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$- \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(- v^{2}\right) - \left(- v^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&v^{2}&{\color{Violet}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&v^{4}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Violet}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Violet}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Violet}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Violet}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Da der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die resultierende Tabelle wird erneut angezeigt:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Red}v^{2}}&{\color{Violet}-1}&&&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Red}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Red}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Red}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Red}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&{\color{Violet}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Violet}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Violet}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Violet}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Daher $$$\frac{v^{4}}{v^{2} + 1} = \left(v^{2} - 1\right) + \frac{1}{v^{2} + 1}$$$.