Teile $$$u^{3}$$$ durch $$$u - 1$$$

Geben Sie die Aufgabe im speziellen Format ein (fehlende Terme werden mit dem Koeffizienten 0 angegeben):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Schritt 1

Teile den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: $$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$.

Subtrahiere den Dividenden vom erhaltenen Ergebnis: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{BlueViolet}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{BlueViolet}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{BlueViolet}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{BlueViolet}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{BlueViolet}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Schritt 2

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{SaddleBrown}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{SaddleBrown}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{SaddleBrown}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

Schritt 3

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{u}{u} = 1$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{Purple}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{Purple}u}&+0&\frac{{\color{Purple}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Purple}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Purple}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Da der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die resultierende Tabelle wird erneut angezeigt:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{BlueViolet}u^{2}}&{\color{SaddleBrown}+u}&{\color{Purple}+1}&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{BlueViolet}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{BlueViolet}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{BlueViolet}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{BlueViolet}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{SaddleBrown}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{SaddleBrown}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{Purple}u}&+0&\frac{{\color{Purple}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Purple}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Purple}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Daher $$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$.