Teile $$$u^{5}$$$ durch $$$u^{2} + 1$$$

Geben Sie die Aufgabe im speziellen Format ein (fehlende Terme werden mit dem Koeffizienten 0 angegeben):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Schritt 1

Teile den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$.

Subtrahiere den Dividenden vom erhaltenen Ergebnis: $$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{DeepPink}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DeepPink}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{DeepPink}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Schritt 2

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{Chocolate}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chocolate}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chocolate}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{Chocolate}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Da der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die resultierende Tabelle wird erneut angezeigt:

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{DeepPink}u^{3}}&{\color{Chocolate}- u}&&&&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DeepPink}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{DeepPink}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chocolate}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chocolate}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{Chocolate}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Daher $$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$.