Teile $$$u^{4}$$$ durch $$$u^{2} + 1$$$

Geben Sie die Aufgabe im speziellen Format ein (fehlende Terme werden mit dem Koeffizienten 0 angegeben):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Schritt 1

Teile den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

Subtrahiere den Dividenden vom erhaltenen Ergebnis: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Fuchsia}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Fuchsia}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Fuchsia}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Fuchsia}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Fuchsia}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Schritt 2

Teile den Leitterm des erhaltenen Restes durch den Leitterm des Divisors: $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie es mit dem Divisor: $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

Ziehe den Rest vom erhaltenen Ergebnis ab: $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{DarkMagenta}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkMagenta}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkMagenta}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{DarkMagenta}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Da der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die resultierende Tabelle wird erneut angezeigt:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Fuchsia}u^{2}}&{\color{DarkMagenta}-1}&&&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Fuchsia}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Fuchsia}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Fuchsia}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Fuchsia}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkMagenta}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkMagenta}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{DarkMagenta}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Daher $$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$.