沿$$$\left\langle 3 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}, - 3 \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}, \sin{\left(2 t \right)}\right\rangle$$$方向的單位向量
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求在$$$\mathbf{\vec{u}} = \left\langle 3 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}, - 3 \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}, \sin{\left(2 t \right)}\right\rangle$$$方向上的單位向量。
解答
向量的模為 $$$\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = \frac{\sqrt{26 - 26 \cos{\left(4 t \right)}}}{4}$$$（步驟請參見 向量模計算器）。
單位向量是將給定向量的每個分量除以其模（長度）得到的。
因此，單位向量為 $$$\mathbf{\vec{e}} = \left\langle \frac{6 \sqrt{26} \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}, - \frac{6 \sqrt{26} \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}, \frac{2 \sqrt{26} \sin{\left(2 t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}\right\rangle$$$（如需步驟，請參閱 向量與純量相乘計算器）。
答案
在$$$\left\langle 3 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}, - 3 \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}, \sin{\left(2 t \right)}\right\rangle$$$A方向上的單位向量為$$$\left\langle \frac{6 \sqrt{26} \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}, - \frac{6 \sqrt{26} \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}, \frac{2 \sqrt{26} \sin{\left(2 t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}\right\rangle\approx \left\langle \frac{2.353393621658208 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{\left(1 - \cos{\left(4 t \right)}\right)^{0.5}}, - \frac{2.353393621658208 \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}}{\left(1 - \cos{\left(4 t \right)}\right)^{0.5}}, \frac{0.784464540552736 \sin{\left(2 t \right)}}{\left(1 - \cos{\left(4 t \right)}\right)^{0.5}}\right\rangle$$$A。