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QR 分解計算器

逐步求矩陣的 QR 分解

該計算器將求出給定矩陣 $$$A$$$ 的 QR 分解，即找到一個正交（或半正交）矩陣 $$$Q$$$ 和一個上三角矩陣 $$$R$$$，使得 $$$A=QR$$$，並顯示步驟。

相關計算器: LU分解計算器

$$$\times$$$
A

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求 $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 5\\1 & 3 & 1\\2 & -1 & 7\end{array}\right]$$$ 的 QR 分解。

解答

將由給定矩陣的列所構成的向量組進行正交歸一化：$$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{\sqrt{2}}{2}\\0\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 格拉姆–施密特計算器）。

矩陣 $$$Q$$$ 的各列為正交歸一化向量：$$$Q = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\end{array}\right]$$$

求矩陣的轉置：$$$Q^{T} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]$$$（步驟請參見 矩陣轉置計算器）。

最後，$$$R = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 5\\1 & 3 & 1\\2 & -1 & 7\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6} & \frac{2 \sqrt{6}}{3} & \frac{10 \sqrt{6}}{3}\\0 & \frac{7 \sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\0 & 0 & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$（步驟詳見 矩陣乘法計算器）。

答案

$$$Q = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$R = \left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6} & \frac{2 \sqrt{6}}{3} & \frac{10 \sqrt{6}}{3}\\0 & \frac{7 \sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\0 & 0 & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.449489742783178 & 1.632993161855452 & 8.16496580927726\\0 & 4.04145188432738 & -0.577350269189626\\0 & 0 & 2.82842712474619\end{array}\right]$$$A


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