LU分解計算器
逐步求出矩陣的 LU 分解
此計算器將（若可能）求給定矩陣 $$$A$$$ 的 LU 分解，即存在下三角矩陣 $$$L$$$ 與上三角矩陣 $$$U$$$ 使得 $$$A=LU$$$，並顯示步驟。
若需要部分選主元（行置換），計算器也會求出置換矩陣 $$$P$$$，使得 $$$PA=LU$$$。
相關計算器: QR 分解計算器
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求$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$的 LU 分解。
解答
從單位矩陣 $$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$ 開始。
從第$$$2$$$行減去$$$\frac{3}{2}$$$倍的第$$$1$$$行：$$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
將係數 $$$\frac{3}{2}$$$ 寫入矩陣 $$$L$$$ 的第 $$$2$$$ 行第 $$$1$$$ 列：
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
從第$$$3$$$行減去$$$\frac{1}{2}$$$倍的第$$$1$$$行：$$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
將係數 $$$\frac{1}{2}$$$ 寫入矩陣 $$$L$$$ 的第 $$$3$$$ 行第 $$$1$$$ 列：
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
將第$$$2$$$行乘以$$$\frac{3}{25}$$$後加到第$$$3$$$行：$$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
將係數 $$$- \frac{3}{25}$$$ 寫入矩陣 $$$L$$$ 的第 $$$3$$$ 行第 $$$2$$$ 列：
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
得到的矩陣是矩陣 $$$U$$$。
答案
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A