$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$ 的反函數

使用高斯-若爾當消去法計算 $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$。

為了求逆矩陣，將其與單位矩陣並排形成增廣矩陣，並進行初等列運算，使左邊化為單位矩陣。此時右邊就是逆矩陣。

因此，將矩陣與單位矩陣組成增廣矩陣：

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

將第 $$$1$$$ 行除以 $$$5$$$：$$$R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

從第$$$2$$$行減去第$$$1$$$行: $$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$

將第$$$2$$$行乘以$$$\frac{5}{3}$$$: $$$R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

從第$$$1$$$行減去$$$\frac{2}{5}$$$倍的第$$$2$$$行：$$$R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

我們完成了。左邊是單位矩陣。右邊是逆矩陣。

逆矩陣為 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right]$$$A。