對角化 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$
您的輸入
將 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$ 對角化。
解答
首先，求出特徵值與特徵向量（步驟請參見特徵值與特徵向量計算器）。
特徵值：$$$- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]$$$。
特徵值：$$$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]$$$。
構造矩陣 $$$P$$$，其中第 $$$i$$$ 列為第 $$$i$$$ 個特徵向量：$$$P = \left[\begin{array}{cc}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1 & 1\end{array}\right]$$$。
構成對角矩陣 $$$D$$$，其在第 $$$i$$$ 行第 $$$i$$$ 列的元素為第 $$$i$$$ 個特徵值：$$$D = \left[\begin{array}{cc}- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} & 0\\0 & \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\end{array}\right]$$$
矩陣 $$$P$$$ 和 $$$D$$$ 被選取為使初始矩陣滿足 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$。
$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}- \frac{\sqrt{33}}{11} & - \frac{-11 + \sqrt{33}}{22}\\\frac{\sqrt{33}}{11} & \frac{\sqrt{33} + 11}{22}\end{array}\right]$$$ (步驟請參閱 逆矩陣計算器).
答案
$$$P = \left[\begin{array}{cc}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1 & 1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-1.457427107756338 & 0.457427107756338\\1 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$D = \left[\begin{array}{cc}- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} & 0\\0 & \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.372281323269014 & 0\\0 & 5.372281323269014\end{array}\right]$$$A
$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}- \frac{\sqrt{33}}{11} & - \frac{-11 + \sqrt{33}}{22}\\\frac{\sqrt{33}}{11} & \frac{\sqrt{33} + 11}{22}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.522232967867094 & 0.238883516066453\\0.522232967867094 & 0.761116483933547\end{array}\right]$$$A