$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$ 的特徵值與特徵向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$的特徵值與特徵向量。

首先，將給定矩陣的主對角線元素各減去 $$$\lambda$$$，形成一個新矩陣：$$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right]$$$。

所得矩陣的行列式為 $$$\lambda^{2} - 5 \lambda - 2$$$（步驟請參見 行列式計算器）。

求解方程式 $$$\lambda^{2} - 5 \lambda - 2 = 0$$$。

根為 $$$\lambda_{1} = - \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$（步驟請參見方程求解器）。

這些是特徵值。

接著，求特徵向量。

• $$$\lambda = - \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-5 + \sqrt{33}}{2} + 1 & 2\\3 & \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} + 4\end{array}\right]$$$

  此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

  這是特徵向量。

• $$$\lambda = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2\\3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\end{array}\right]$$$

  此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

  這是特徵向量。

特徵值：$$$- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}\approx -0.372281323269014$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-1.457427107756338\\1\end{array}\right]$$$A。

特徵值：$$$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}\approx 5.372281323269014$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.457427107756338\\1\end{array}\right]$$$A。