向量夾角計算器
逐步求兩向量之間的夾角
此計算器將求出兩個向量之間的夾角（以弧度與度數表示），並顯示計算過程。
您的輸入
計算向量 $$$\mathbf{\vec{u}} = \left\langle 5, -2, 3\right\rangle$$$ 與 $$$\mathbf{\vec{v}} = \left\langle -4, 5, 7\right\rangle$$$ 之間的夾角。
解答
首先，計算內積：$$$\mathbf{\vec{u}}\cdot \mathbf{\vec{v}} = -9$$$（步驟請參見內積計算器）。
接下來，求各向量的長度：
$$$\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = \sqrt{38}$$$（步驟請見向量長度計算器）。
$$$\mathbf{\left\lvert\vec{v}\right\rvert} = 3 \sqrt{10}$$$（步驟請見向量長度計算器）。
最後，夾角由 $$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\mathbf{\vec{u}}\cdot \mathbf{\vec{v}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} \mathbf{\left\lvert\vec{v}\right\rvert}} = \frac{-9}{\left(\sqrt{38}\right)\cdot \left(3 \sqrt{10}\right)} = - \frac{3 \sqrt{95}}{190}$$$ 給出（在複數情況下，需要取點積的實部）。
$$$\phi = \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)} = \left(\frac{180 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)}}{\pi}\right)^{\circ}$$$
答案
以弧度表示的角：$$$\phi = \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)}\approx 1.725307134097968$$$A。
角的度數：$$$\phi = \left(\frac{180 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)}}{\pi}\right)^{\circ}\approx 98.852817147625106^{\circ}.$$$A