加速度的切向分量計算器

求$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle$$$的切向加速度分量。

求$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$的導數：$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle$$$（步驟詳見導數計算器）。

求$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$的模長：$$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}$$$（步驟請參見模長計算器）。

求$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$的導數：$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle$$$（步驟詳見導數計算器）。

求點積：$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t$$$（如需步驟，請參見點積計算器）。

最後，加速度的切向分量為 $$$a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}$$$。

加速度的切向分量為 $$$a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}$$$A。